تعداد افرازهاي يك مجموعه

برای بدست آوردن تعداد افرازهای یک مجموعه یn عضوی، مسأله را مدل سازی می کنیم . فرض می کنیم اعضای مجموعه ، n شیء متمایز هستند که می خواهیم آن را دسته بندی کنیم. اول می بینیم که می خواهیم آنها را به دسته های چند تایی تقسیم کنیم .(توجه کنید که دسته ها با هم متمایز نیستند.) پس باید ببینیم عدد طبیعی n را به چند صورت می توان به شکل مجموعه چند عدد طبیعی نوشت. به عنوان مثال یک مجموعه ی 5 عضوی را در نظر بگیرید:

1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4=5

هرکدام ار حالت های بالا یک راه برای دسته بندی 5 شیء متمایز است.

حالت 1+1+1+1+1 : هر شیء را داخل یک دسته می گذاریم در نتیجه 1 حالت دارد.

حالت 1+1+1+2 : یک دسته ی 2 تایی داریم و داخل هرکدام از دسته های دیگر 1شیء وجود دارد . برای این دسته بندی C(۵,۲)۱ حالت وجود دارد. (چون ابتدا 2 شیء را انتخاب کرده و داخل یک دسته می گذاریم. هرکدام از 3 شی ء بعدی داخل یک دسته می شوند.)

حالت 1+2+2 : 2 دسته ی 2 تایی داریم و شیء باقیمانده داخل یک دسته می رود.                        برای این کار   [C(۵,۲)*C(۳,۲)]/۲]  حالت داریم . (ابتدا 2 شیء انتخاب کرده و آن را داخل یک دسته می گذاریم. بعد 2 شیء دیگر را انتخاب می کنیم و داخل دسته ی بعدی می گذاریم. ولی چون دسته ها متمایز نیستند، این تعداد را برتعداد جایگشت ها ی 2 دسته تقسیم می کنیم . توجه کنید که این حالت ها یکی هستند:                                                           ({5},{1,2},{3,4})و({5},{3,4},{1,2})

حالت 2+3 : C(۵,۲)2

حالت 1+1+3 : C(۵,۳)3

حالت 1+4 : C(۵,۴)4

حالت 5 : C(۵,۵)5

لذا تعداد كل افرازهاي يك مجموعه 5 عضوي برابر خواهد بود با :

 C(۵,۲) + [[C(۵,۲)*C(۳,۲)]/۲] + C(۵,۲) + C(۵,۳) + C(۵,۴) + C(۵,۵) +۱ =  ۵۲

لازم به يادآوري است كه :   ۱۰=C(۵,۲) = ۵! / ((۵ -۲)! * ۲!)۱